ローレンツィアン。コーシー分布。

距離に対して指数関数的に減衰する関数があったとして、
\exp(-a|{\mathbb r}|)
と置くと、このQ空間、逆格子空間での分布は、フーリエ変換して、
\int \exp(-a|{\mathbb r}|) \exp(i{\mathbb q \cdot r}) \text d\mathbb r
x成分だけみると、
\begin{eqnarray}\int_{-\infty}^\infty \exp(-a|x|) \exp(i{q_x x}) \text dx &=& \int_0^\infty exp{(-a+iq_x)x} + exp{(-a-iq_x)x} \text dx\\&=& \left( \frac{exp{(-a+iq_x)x}}{-a+iq_x} + \frac{exp{(-a-iq_x)x}}{-a-iq_x}\right) \middle|_0^\infty\\ &=& \frac{1}{a-iq_x} + \frac{1}{a+iq_x}\\&=& \frac{2a}{a^2+{q_x}^2\end{eqnarray}
このように、qに対してはローレンツ関数的に減衰します。

 

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